"statistics" --- Mathematical statistics functions
**************************************************

버전 3.4에 추가.

**소스 코드:** Lib/statistics.py

======================================================================

이 모듈은 숫자 ("Real" 값) 데이터의 수학적 통계를 계산하는 함수를 제공
합니다.

The module is not intended to be a competitor to third-party libraries
such as NumPy, SciPy, or proprietary full-featured statistics packages
aimed at professional statisticians such as Minitab, SAS and Matlab.
It is aimed at the level of graphing and scientific calculators.

달리 명시되지 않는 한, 이 함수는 "int", "float", "decimal.Decimal" 및
"fractions.Fraction"을 지원합니다. 다른 형(숫자 계층에 있든 없든)에서
의 동작은 현재 지원되지 않습니다. 여러 형의 컬렉션도 정의되지 않으며
구현에 따라 다릅니다. 입력 데이터가 혼합형으로 구성되었으면, "map()"을
사용하여 일관된 결과를 보장 할 수 있습니다, 예를 들어 "map(float,
input_data)".

Some datasets use "NaN" (not a number) values to represent missing
data. Since NaNs have unusual comparison semantics, they cause
surprising or undefined behaviors in the statistics functions that
sort data or that count occurrences.  The functions affected are
"median()", "median_low()", "median_high()", "median_grouped()",
"mode()", "multimode()", and "quantiles()".  The "NaN" values should
be stripped before calling these functions:

   >>> from statistics import median
   >>> from math import isnan
   >>> from itertools import filterfalse

   >>> data = [20.7, float('NaN'),19.2, 18.3, float('NaN'), 14.4]
   >>> sorted(data)  # This has surprising behavior
   [20.7, nan, 14.4, 18.3, 19.2, nan]
   >>> median(data)  # This result is unexpected
   16.35

   >>> sum(map(isnan, data))    # Number of missing values
   2
   >>> clean = list(filterfalse(isnan, data))  # Strip NaN values
   >>> clean
   [20.7, 19.2, 18.3, 14.4]
   >>> sorted(clean)  # Sorting now works as expected
   [14.4, 18.3, 19.2, 20.7]
   >>> median(clean)       # This result is now well defined
   18.75


평균과 중심 위치의 측정
=======================

이 함수는 모집단(population)이나 표본(sample)에서 평균이나 최빈값을 계
산합니다.

+-------------------------+-----------------------------------------------------------------+
| "mean()"                | 데이터의 산술 평균(arithmetic mean) ( "average").               |
+-------------------------+-----------------------------------------------------------------+
| "fmean()"               | Fast, floating point arithmetic mean, with optional weighting.  |
+-------------------------+-----------------------------------------------------------------+
| "geometric_mean()"      | 데이터의 기하 평균(geometric mean).                             |
+-------------------------+-----------------------------------------------------------------+
| "harmonic_mean()"       | 데이터의 조화 평균(harmonic mean).                              |
+-------------------------+-----------------------------------------------------------------+
| "median()"              | 데이터의 중앙값(median) (중간값).                               |
+-------------------------+-----------------------------------------------------------------+
| "median_low()"          | 데이터의 낮은 중앙값(low median).                               |
+-------------------------+-----------------------------------------------------------------+
| "median_high()"         | 데이터의 높은 중앙값(high median).                              |
+-------------------------+-----------------------------------------------------------------+
| "median_grouped()"      | Median, or 50th percentile, of grouped data.                    |
+-------------------------+-----------------------------------------------------------------+
| "mode()"                | 이산(discrete) 또는 범주(nominal) 데이터의 단일 최빈값(mode) (  |
|                         | 가장 흔 한 값)                                                  |
+-------------------------+-----------------------------------------------------------------+
| "multimode()"           | List of modes (most common values) of discrete or nominal data. |
+-------------------------+-----------------------------------------------------------------+
| "quantiles()"           | 데이터를 같은 확률을 갖는 구간으로 나눕니다.                    |
+-------------------------+-----------------------------------------------------------------+


분산 측정
=========

이 함수는 모집단이나 표본이 평균값에서 벗어나는 정도를 측정합니다.

+-------------------------+-----------------------------------------------+
| "pstdev()"              | 데이터의 모집단 표준 편차(population standard |
|                         | deviation).                                   |
+-------------------------+-----------------------------------------------+
| "pvariance()"           | 데이터의 모집단 분산(population variance).    |
+-------------------------+-----------------------------------------------+
| "stdev()"               | 데이터의 표본 표준 편차(sample standard       |
|                         | deviation).                                   |
+-------------------------+-----------------------------------------------+
| "variance()"            | 데이터의 표본 분산(sample variance).          |
+-------------------------+-----------------------------------------------+


Statistics for relations between two inputs
===========================================

These functions calculate statistics regarding relations between two
inputs.

+---------------------------+-------------------------------------------------------+
| "covariance()"            | Sample covariance for two variables.                  |
+---------------------------+-------------------------------------------------------+
| "correlation()"           | Pearson's correlation coefficient for two variables.  |
+---------------------------+-------------------------------------------------------+
| "linear_regression()"     | Slope and intercept for simple linear regression.     |
+---------------------------+-------------------------------------------------------+


함수 세부 사항
==============

참고: 함수에 전달되는 데이터가 정렬될 필요는 없습니다. 하지만, 읽기 쉽
도록 대부분 예제는 정렬된 시퀀스를 보여줍니다.

statistics.mean(data)

   시퀀스나 이터러블일 수 있는 *data*의 표본 산술 평균을 반환합니다.

   산술 평균은 데이터의 합을 데이터 포인트 수로 나눈 값입니다. 흔히 "
   평균"이라고 합니다만, 많은 수학적 평균 중 하나일 뿐입니다. 데이터의
   중심 위치에 대한 측정(measure)입니다.

   *data*가 비어 있으면, "StatisticsError"가 발생합니다.

   사용 예:

      >>> mean([1, 2, 3, 4, 4])
      2.8
      >>> mean([-1.0, 2.5, 3.25, 5.75])
      2.625

      >>> from fractions import Fraction as F
      >>> mean([F(3, 7), F(1, 21), F(5, 3), F(1, 3)])
      Fraction(13, 21)

      >>> from decimal import Decimal as D
      >>> mean([D("0.5"), D("0.75"), D("0.625"), D("0.375")])
      Decimal('0.5625')

   참고:

     The mean is strongly affected by outliers and is not necessarily
     a typical example of the data points. For a more robust, although
     less efficient, measure of central tendency, see "median()".표본
     평균은 실제 모집단 평균의 편향되지 않은(unbiased) 추정치를 제공합
     니다. 즉, 가능한 모든 표본에 대해 평균을 취하면, "mean(sample)"은
     전체 모집단의 실제 평균에 수렴합니다. *data*가 표본이 아닌 전체
     모집단을 나타낸다면, "mean(data)"는 실제 모집단 평균 μ를 계산하는
     것과 동등합니다.

statistics.fmean(data, weights=None)

   *data*를 float로 변환하고 산술 평균을 계산합니다.

   "mean()" 함수보다 빠르게 실행되며 항상 "float"를 반환합니다. *data*
   는 시퀀스나 이터러블일 수 있습니다. 입력 data가 비어 있으면
   "StatisticsError"를 발생시킵니다.

      >>> fmean([3.5, 4.0, 5.25])
      4.25

   Optional weighting is supported.  For example, a professor assigns
   a grade for a course by weighting quizzes at 20%, homework at 20%,
   a midterm exam at 30%, and a final exam at 30%:

      >>> grades = [85, 92, 83, 91]
      >>> weights = [0.20, 0.20, 0.30, 0.30]
      >>> fmean(grades, weights)
      87.6

   If *weights* is supplied, it must be the same length as the *data*
   or a "ValueError" will be raised.

   버전 3.8에 추가.

   버전 3.11에서 변경: Added support for *weights*.

statistics.geometric_mean(data)

   *data*를 float로 변환하고 기하 평균(geometric mean)을 계산합니다.

   기하 평균은 값의 곱을 사용하는 *data*의 중심 경향(central tendency)
   이나 대표값(typical value)을 나타냅니다 (합을 사용하는 산술 평균과
   달리).

   입력 data가 비어 있거나, 0을 포함하거나, 음수 값을 포함하면
   "StatisticsError"를 발생시킵니다. *data*는 시퀀스나 이터러블일 수
   있습니다.

   정확한 결과를 얻기 위해 특별한 노력을 기울이지는 않습니다. (하지만,
   향후 변경될 수 있습니다.)

      >>> round(geometric_mean([54, 24, 36]), 1)
      36.0

   버전 3.8에 추가.

statistics.harmonic_mean(data, weights=None)

   Return the harmonic mean of *data*, a sequence or iterable of real-
   valued numbers.  If *weights* is omitted or *None*, then equal
   weighting is assumed.

   The harmonic mean is the reciprocal of the arithmetic "mean()" of
   the reciprocals of the data. For example, the harmonic mean of
   three values *a*, *b* and *c* will be equivalent to "3/(1/a + 1/b +
   1/c)".  If one of the values is zero, the result will be zero.

   The harmonic mean is a type of average, a measure of the central
   location of the data.  It is often appropriate when averaging
   ratios or rates, for example speeds.

   자동차가 40km/hr로 10km를 주행한 다음, 60km/hr로 10km를 주행한다고
   가정해 봅시다. 평균 속도는 얼마입니까?

      >>> harmonic_mean([40, 60])
      48.0

   Suppose a car travels 40 km/hr for 5 km, and when traffic clears,
   speeds-up to 60 km/hr for the remaining 30 km of the journey. What
   is the average speed?

      >>> harmonic_mean([40, 60], weights=[5, 30])
      56.0

   "StatisticsError" is raised if *data* is empty, any element is less
   than zero, or if the weighted sum isn't positive.

   현재 알고리즘은 입력에서 0을 만나면 조기 종료됩니다. 이는 후속 입력
   의 유효성을 검사하지 않았음을 의미합니다. (이 동작은 나중에 변경될
   수 있습니다.)

   버전 3.6에 추가.

   버전 3.10에서 변경: Added support for *weights*.

statistics.median(data)

   일반적인 "중간 2개의 평균" 방법을 사용하여, 숫자 data의 중앙값(중간
   값)을 반환합니다. *data*가 비어 있으면, "StatisticsError"가 발생합
   니다. *data*는 시퀀스나 이터러블일 수 있습니다.

   중앙값은 중심 위치에 대한 강인한 측정이며, 특이치가 있을 때 영향을
   덜 받습니다. 데이터 포인트 수가 홀수면, 가운데 데이터 포인트가 반환
   됩니다:

      >>> median([1, 3, 5])
      3

   데이터 포인트 수가 짝수면, 중앙값은 두 가운데 값의 평균을 취하여 보
   간됩니다:

      >>> median([1, 3, 5, 7])
      4.0

   데이터가 이산(discrete)적이고, 중앙값이 실제 데이터 포인트가 아니라
   도 상관없을 때 적합합니다.

   데이터가 순서는 있지만 (대소 비교 지원) 숫자가 아니면 (덧셈을 지원
   하지 않음), 대신 "median_low()"나 "median_high()"를 사용하는 것을
   고려하십시오.

statistics.median_low(data)

   숫자 데이터의 낮은 중앙값을 반환합니다. *data*가 비어 있으면
   "StatisticsError"가 발생합니다. *data*는 시퀀스나 이터러블일 수 있
   습니다.

   낮은 중앙값은 항상 데이터 세트의 멤버입니다. 데이터 포인트 수가 홀
   수이면 중간값이 반환됩니다. 짝수이면, 두 중간값 중 작은 값이 반환됩
   니다.

      >>> median_low([1, 3, 5])
      3
      >>> median_low([1, 3, 5, 7])
      3

   데이터가 이산(discrete)적이고 보간된 값이 아닌 실제 데이터 포인트를
   중앙값으로 선호할 때 낮은 중앙값을 사용하십시오.

statistics.median_high(data)

   데이터의 높은 중앙값을 반환합니다. *data*가 비어 있으면
   "StatisticsError"가 발생합니다. *data*는 시퀀스나 이터러블일 수 있
   습니다.

   높은 중앙값은 항상 데이터 세트의 멤버입니다. 데이터 포인트 수가 홀
   수이면 중간값이 반환됩니다. 짝수이면, 두 중간값 중 큰 값이 반환됩니
   다.

      >>> median_high([1, 3, 5])
      3
      >>> median_high([1, 3, 5, 7])
      5

   데이터가 이산(discrete)적이고 보간된 값이 아닌 실제 데이터 포인트를
   중앙값으로 선호할 때 높은 중앙값을 사용하십시오.

statistics.median_grouped(data, interval=1)

   Return the median of grouped continuous data, calculated as the
   50th percentile, using interpolation.  If *data* is empty,
   "StatisticsError" is raised.  *data* can be a sequence or iterable.

      >>> median_grouped([52, 52, 53, 54])
      52.5

   In the following example, the data are rounded, so that each value
   represents the midpoint of data classes, e.g. 1 is the midpoint of
   the class 0.5--1.5, 2 is the midpoint of 1.5--2.5, 3 is the
   midpoint of 2.5--3.5, etc.  With the data given, the middle value
   falls somewhere in the class 3.5--4.5, and interpolation is used to
   estimate it:

      >>> median_grouped([1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5])
      3.7

   Optional argument *interval* represents the class interval, and
   defaults to 1.  Changing the class interval naturally will change
   the interpolation:

      >>> median_grouped([1, 3, 3, 5, 7], interval=1)
      3.25
      >>> median_grouped([1, 3, 3, 5, 7], interval=2)
      3.5

   This function does not check whether the data points are at least
   *interval* apart.

   **CPython 구현 상세:** Under some circumstances, "median_grouped()"
   may coerce data points to floats.  This behaviour is likely to
   change in the future.

   더 보기:

     * "Statistics for the Behavioral Sciences", Frederick J Gravetter
       and Larry B Wallnau (8th Edition).

     * The SSMEDIAN function in the Gnome Gnumeric spreadsheet,
       including this discussion.

statistics.mode(data)

   이산(discrete)적이거나 범주(nominal)적인 *data*에서 가장 흔한 단일
   데이터 포인트를 반환합니다. 최빈값(mode)은 (존재할 때) 가장 흔한 값
   이며 중심 위치의 측정으로 기능합니다.

   같은 빈도의 여러 최빈값이 있으면, *data*에서 처음 발견된 첫 번째 값
   을 반환합니다. 여러 최빈값 중 가장 작거나 가장 큰 값이 필요하면 대
   신 "min(multimode(data))"나 "max(multimode(data))"를 사용하십시오.
   입력 *data*가 비어 있으면, "StatisticsError"가 발생합니다.

   "mode"는 이산 데이터를 가정하고 단일 값을 반환합니다. 이것이 학교에
   서 일반적으로 가르치는 최빈값의 표준적인 처리입니다:

      >>> mode([1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 4])
      3

   최빈값은 범주(nominal)적 (숫자가 아닌) 데이터에도 적용되는 이 패키
   지에 있는 유일한 통계라는 점에서 특별합니다:

      >>> mode(["red", "blue", "blue", "red", "green", "red", "red"])
      'red'

   버전 3.8에서 변경: 이제 첫 번째 최빈값을 모드를 반환하여 다봉
   (multimodal) 데이터 세트를 처리합니다. 이전에는, 둘 이상의 최빈값이
   발견되면 "StatisticsError"가 발생했습니다.

statistics.multimode(data)

   *data*에서 먼저 발견되는 순서대로 가장 자주 등장하는 값의 리스트를
   반환합니다. 여러 최빈값이 있으면 둘 이상의 결과를 반환하고, *data*
   가 비어 있으면 빈 리스트를 반환합니다:

      >>> multimode('aabbbbccddddeeffffgg')
      ['b', 'd', 'f']
      >>> multimode('')
      []

   버전 3.8에 추가.

statistics.pstdev(data, mu=None)

   모집단 표준 편차(모집단 분산의 제곱근)를 반환합니다. 인자와 기타 세
   부 사항은 "pvariance()"를 참조하십시오.

      >>> pstdev([1.5, 2.5, 2.5, 2.75, 3.25, 4.75])
      0.986893273527251

statistics.pvariance(data, mu=None)

   실수 숫자의 비어있지 않은 시퀀스나 이터러블인 *data*의 모집단 분산
   을 반환합니다. 분산(또는 평균에 대한 이차 모멘트)은 데이터 변동성(
   퍼진 정도)의 측정입니다. 큰 분산은 데이터가 퍼져 있음을 나타냅니다;
   작은 분산은 평균 주변에 군집되어 있음을 나타냅니다.

   If the optional second argument *mu* is given, it is typically the
   mean of the *data*.  It can also be used to compute the second
   moment around a point that is not the mean.  If it is missing or
   "None" (the default), the arithmetic mean is automatically
   calculated.

   이 함수를 사용하여 전체 모집단의 분산을 계산하십시오. 표본으로 분산
   을 추정하려면, 일반적으로 "variance()" 함수가 더 좋은 선택입니다.

   *data*가 비어 있으면 "StatisticsError"를 발생시킵니다.

   예:

      >>> data = [0.0, 0.25, 0.25, 1.25, 1.5, 1.75, 2.75, 3.25]
      >>> pvariance(data)
      1.25

   데이터의 평균을 이미 계산했다면, 재계산을 피하고자 선택적인 두 번째
   인자 *mu*로 전달할 수 있습니다:

      >>> mu = mean(data)
      >>> pvariance(data, mu)
      1.25

   Decimal과 Fraction이 지원됩니다:

      >>> from decimal import Decimal as D
      >>> pvariance([D("27.5"), D("30.25"), D("30.25"), D("34.5"), D("41.75")])
      Decimal('24.815')

      >>> from fractions import Fraction as F
      >>> pvariance([F(1, 4), F(5, 4), F(1, 2)])
      Fraction(13, 72)

   참고:

     전체 모집단으로 호출하면, 모집단 분산 σ²을 줍니다. 대신 표본으로
     호출하면, 편향된(biased) 표본 분산 s²이 됩니다, N 자유도의 분산이
     라고도 합니다.실제 모집단 평균 μ를 어떻게든 알고 있다면, 알려진
     모집단 평균을 두 번째 인자로 지정해서, 이 함수를 사용하여 표본의
     분산을 계산할 수 있습니다. 데이터 포인트가 모집단의 무작위 표본이
     면, 결과는 모집단 분산의 편향 없는(unbiased) 추정치가 됩니다.

statistics.stdev(data, xbar=None)

   표본 표준 편차(표본 분산의 제곱근)를 반환합니다. 인자와 기타 세부
   사항은 "variance()"를 참조하십시오.

      >>> stdev([1.5, 2.5, 2.5, 2.75, 3.25, 4.75])
      1.0810874155219827

statistics.variance(data, xbar=None)

   적어도 두 개의 실수 숫자를 제공하는 이터러블인 *data*의 표본 분산을
   반환합니다. 분산(또는 평균에 대한 이차 모멘트)은 데이터 변동성(퍼진
   정도)의 측정입니다. 큰 분산은 데이터가 퍼져 있음을 나타냅니다; 작은
   분산은 평균 주변에 군집되어 있음을 나타냅니다.

   If the optional second argument *xbar* is given, it should be the
   mean of *data*.  If it is missing or "None" (the default), the mean
   is automatically calculated.

   데이터가 모집단의 표본이면 이 함수를 사용하십시오. 전체 모집단의 분
   산을 계산하려면, "pvariance()"를 참조하십시오.

   *data*의 두 개 미만의 값을 갖고 있으면 "StatisticsError"를 발생시킵
   니다.

   예:

      >>> data = [2.75, 1.75, 1.25, 0.25, 0.5, 1.25, 3.5]
      >>> variance(data)
      1.3720238095238095

   If you have already calculated the mean of your data, you can pass
   it as the optional second argument *xbar* to avoid recalculation:

      >>> m = mean(data)
      >>> variance(data, m)
      1.3720238095238095

   이 함수는 실제 평균을 *xbar*로 전달했는지 확인하지 않습니다. *xbar*
   에 임의의 값을 사용하면 결과가 유효하지 않거나 불가능한 값일 수 있
   습니다.

   Decimal과 Fraction 값이 지원됩니다:

      >>> from decimal import Decimal as D
      >>> variance([D("27.5"), D("30.25"), D("30.25"), D("34.5"), D("41.75")])
      Decimal('31.01875')

      >>> from fractions import Fraction as F
      >>> variance([F(1, 6), F(1, 2), F(5, 3)])
      Fraction(67, 108)

   참고:

     이것은 베셀 보정(Bessel's correction)을 적용한 표본 분산 s² 입니
     다, N-1 자유도의 분산이라고도 합니다. 데이터 포인트가 대표적(예를
     들어, 독립적이고 동일하게 분포된)이라면, 결과는 실제 모집단 분산
     의 편향 없는(unbiased) 추정치가 되어야 합니다.실제 모집단 평균 μ
     를 어떻게든 알고 있다면 *mu* 매개 변수로 "pvariance()" 함수에 전
     달하여 표본의 분산을 구해야 합니다.

statistics.quantiles(data, *, n=4, method='exclusive')

   *data*를 같은 확률을 갖는 *n* 개의 연속 구간으로 나눕니다. 구간을
   분할하는 "n - 1"개의 절단 점(cut point) 리스트를 반환합니다.

   사분위는 *n*을 4로 설정하십시오 (기본값). 십분위는 *n*을 10으로 설
   정하십시오. 백분위는 *n*을 100으로 설정하십시오. 그러면 *data*를
   100개의 같은 크기 그룹으로 분할하는 99개의 절단 점이 제공됩니다.
   *n*이 1 미만이면 "StatisticsError"를 발생시킵니다.

   The *data* can be any iterable containing sample data.  For
   meaningful results, the number of data points in *data* should be
   larger than *n*. Raises "StatisticsError" if there are not at least
   two data points.

   절단 점은 가장 가까운 두 개의 데이터 포인트에서 선형 보간됩니다. 예
   를 들어, 절단 점이 두 표본 값 "100"과 "112" 사이의 거리로 1/3 지점
   에 해당하면, 절단 점은 "104"로 평가됩니다.

   균등 분위(quantile) 계산 방법(*method*)은 *data*가 모집단에서 가능
   한 최젓값과 최곳값을 포함하는지 제외하는지에 따라 달라질 수 있습니
   다.

   기본 *method*는 "exclusive"이며, 표본에서 발견되는 것보다 더 극단적
   인 값을 가질 수 있는 모집단에서 표본 추출된 데이터에 사용됩니다.
   *m* 개의 정렬된 데이터 포인트의 *i-번째* 아래로 떨어지는 모집단 부
   분은 "i / (m + 1)"로 계산됩니다. 9개의 표본 값을 주면, 이 방법은 그
   들을 정렬한 다음, 다음과 같은 백분위를 할당합니다: 10%, 20%, 30%,
   40%, 50%, 60%, 70%, 80%, 90%.

   *method*를 "inclusive"로 설정하는 것은 모집단 데이터를 기술하거나
   모집단의 가장 극단적인 값을 포함하는 것으로 알려진 표본에 사용됩니
   다. *data*의 최솟값은 0번째 백분위 수로 취급되고 최댓값은 100번째
   백분위 수로 취급됩니다. *m* 개의 정렬된 데이터 포인트의 *i-번째* 아
   래로 떨어지는 모집단 부분은 "(i - 1) / (m - 1)"로 계산됩니다. 11개
   의 표본 값을 주면, 이 방법은 그들을 정렬한 다음, 다음과 같은 백분위
   를 할당합니다: 0%, 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70%, 80%, 90%,
   100%.

      # Decile cut points for empirically sampled data
      >>> data = [105, 129, 87, 86, 111, 111, 89, 81, 108, 92, 110,
      ...         100, 75, 105, 103, 109, 76, 119, 99, 91, 103, 129,
      ...         106, 101, 84, 111, 74, 87, 86, 103, 103, 106, 86,
      ...         111, 75, 87, 102, 121, 111, 88, 89, 101, 106, 95,
      ...         103, 107, 101, 81, 109, 104]
      >>> [round(q, 1) for q in quantiles(data, n=10)]
      [81.0, 86.2, 89.0, 99.4, 102.5, 103.6, 106.0, 109.8, 111.0]

   버전 3.8에 추가.

statistics.covariance(x, y, /)

   Return the sample covariance of two inputs *x* and *y*. Covariance
   is a measure of the joint variability of two inputs.

   Both inputs must be of the same length (no less than two),
   otherwise "StatisticsError" is raised.

   예:

      >>> x = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
      >>> y = [1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3]
      >>> covariance(x, y)
      0.75
      >>> z = [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]
      >>> covariance(x, z)
      -7.5
      >>> covariance(z, x)
      -7.5

   버전 3.10에 추가.

statistics.correlation(x, y, /)

   Return the Pearson's correlation coefficient for two inputs.
   Pearson's correlation coefficient *r* takes values between -1 and
   +1. It measures the strength and direction of the linear
   relationship, where +1 means very strong, positive linear
   relationship, -1 very strong, negative linear relationship, and 0
   no linear relationship.

   Both inputs must be of the same length (no less than two), and need
   not to be constant, otherwise "StatisticsError" is raised.

   예:

      >>> x = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
      >>> y = [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]
      >>> correlation(x, x)
      1.0
      >>> correlation(x, y)
      -1.0

   버전 3.10에 추가.

statistics.linear_regression(x, y, /, *, proportional=False)

   Return the slope and intercept of simple linear regression
   parameters estimated using ordinary least squares. Simple linear
   regression describes the relationship between an independent
   variable *x* and a dependent variable *y* in terms of this linear
   function:

      *y = slope * x + intercept + noise*

   where "slope" and "intercept" are the regression parameters that
   are estimated, and "noise" represents the variability of the data
   that was not explained by the linear regression (it is equal to the
   difference between predicted and actual values of the dependent
   variable).

   Both inputs must be of the same length (no less than two), and the
   independent variable *x* cannot be constant; otherwise a
   "StatisticsError" is raised.

   For example, we can use the release dates of the Monty Python films
   to predict the cumulative number of Monty Python films that would
   have been produced by 2019 assuming that they had kept the pace.

      >>> year = [1971, 1975, 1979, 1982, 1983]
      >>> films_total = [1, 2, 3, 4, 5]
      >>> slope, intercept = linear_regression(year, films_total)
      >>> round(slope * 2019 + intercept)
      16

   If *proportional* is true, the independent variable *x* and the
   dependent variable *y* are assumed to be directly proportional. The
   data is fit to a line passing through the origin. Since the
   *intercept* will always be 0.0, the underlying linear function
   simplifies to:

      *y = slope * x + noise*

   버전 3.10에 추가.

   버전 3.11에서 변경: Added support for *proportional*.


예외
====

하나의 예외가 정의됩니다:

exception statistics.StatisticsError

   통계 관련 예외를 위한 "ValueError"의 서브 클래스.


"NormalDist" 객체
=================

"NormalDist"는 무작위 변수의 정규 분포를 만들고 조작하기 위한 도구입니
다. 데이터 측정의 평균과 표준 편차를 단일 엔티티로 취급하는 클래스입니
다.

정규 분포는 중심 극한 정리(Central Limit Theorem)에서 도출되며 통계에
서 광범위하게 응용됩니다.

class statistics.NormalDist(mu=0.0, sigma=1.0)

   *mu*가 산술 평균을 나타내고 *sigma*가 표준 편차를 나타내는 새
   *NormalDist* 객체를 반환합니다.

   *sigma*가 음수이면 "StatisticsError"를 발생시킵니다.

   mean

      정규 분포의 산술 평균에 대한 읽기 전용 프로퍼티.

   median

      정규 분포의 중앙값에 대한 읽기 전용 프로퍼티.

   mode

      정규 분포의 최빈값에 대한 읽기 전용 프로퍼티.

   stdev

      정규 분포의 표준 편차에 대한 읽기 전용 프로퍼티.

   variance

      정규 분포의 분산에 대한 읽기 전용 프로퍼티. 표준 편차의 제곱과
      같습니다.

   classmethod from_samples(data)

      "fmean()"과 "stdev()"를 사용해서 *data*에서 추정된 *mu*와
      *sigma* 매개 변수로 정규 분포 인스턴스를 만듭니다.

      *data*는 임의의 *이터러블*일 수 있으며 "float" 형으로 변환될 수
      있는 값으로 구성되어야 합니다. *data*가 두 개 이상의 값을 포함하
      지 않으면 "StatisticsError"를 발생시키는데, 중심 값을 추정하는
      데 적어도 한 점이 필요하고 분산을 추정하는 데 적어도 두 점이 필
      요하기 때문입니다.

   samples(n, *, seed=None)

      주어진 평균과 표준 편차로 *n* 개의 무작위 표본을 생성합니다.
      "float" 값의 "list"를 반환합니다.

      *seed*가 제공되면, 하부 난수 생성기의 새 인스턴스를 만듭니다. 이
      는 다중 스레딩 문맥에서도, 재현 가능한 결과를 만드는 데 유용합니
      다.

   pdf(x)

      확률 밀도 함수(pdf)를 사용하여, 무작위 변수 *X*가 주어진 값 *x*
      에 가까울 상대적 가능도(likelihood)를 계산합니다. 수학적으로, 비
      율 "P(x <= X < x+dx) / dx"의 *dx*가 0으로 접근할 때의 극한값입니
      다.

      The relative likelihood is computed as the probability of a
      sample occurring in a narrow range divided by the width of the
      range (hence the word "density").  Since the likelihood is
      relative to other points, its value can be greater than "1.0".

   cdf(x)

      누적 분포 함수 (cdf)를 사용하여, 무작위 변수 *X*가 *x*보다 작거
      나 같을 확률을 계산합니다. 수학적으로, "P(X <= x)"라고 씁니다.

   inv_cdf(p)

      Compute the inverse cumulative distribution function, also known
      as the quantile function or the percent-point function.
      Mathematically, it is written "x : P(X <= x) = p".

      변수가 *x*보다 작거나 같을 확률이 주어진 확률 *p*와 같아지도록
      하는 무작위 변수 *X*의 값 *x*를 찾습니다.

   overlap(other)

      두 정규 확률 분포 간의 일치를 측정합니다. 두 확률 밀도 함수가 겹
      치는 영역의 면적을 제공하는 0.0과 1.0 사이의 값을 반환합니다.

   quantiles(n=4)

      정규 분포를 같은 확률을 갖는 *n* 개의 연속 구간으로 나눕니다. 구
      간을 분할하는 (n - 1)개의 절단 점(cut point) 리스트를 반환합니다
      .

      사분위는 *n*을 4로 설정하십시오 (기본값). 십분위는 *n*을 10으로
      설정하십시오. 백분위는 *n*을 100으로 설정하십시오, 그러면 정규
      분포를 100개의 같은 크기 그룹으로 분할하는 99개의 절단 점이 제공
      됩니다.

   zscore(x)

      정규 분포의 평균 위나 아래의 표준 편차 수로 *x*를 설명하는 표준
      점수(Standard Score)를 계산합니다: "(x - mean) / stdev".

      버전 3.9에 추가.

   "NormalDist"의 인스턴스는 상수에 의한 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈을
   지원합니다. 이러한 연산은 이동(translation)과 확대(scaling)에 사용
   됩니다. 예를 들면:

      >>> temperature_february = NormalDist(5, 2.5)             # Celsius
      >>> temperature_february * (9/5) + 32                     # Fahrenheit
      NormalDist(mu=41.0, sigma=4.5)

   상수를 "NormalDist"의 인스턴스로 나누는 것은 결과가 정규 분포가 되
   지 않기 때문에 지원되지 않습니다.

   정규 분포는 독립 변수의 가산(additive) 효과에서 발생하므로, 두 독립
   된 정규 분포 무작위 변수를 더하고 빼는 것은 "NormalDist"의 인스턴스
   로 나타낼 수 있습니다. 예를 들면:

      >>> birth_weights = NormalDist.from_samples([2.5, 3.1, 2.1, 2.4, 2.7, 3.5])
      >>> drug_effects = NormalDist(0.4, 0.15)
      >>> combined = birth_weights + drug_effects
      >>> round(combined.mean, 1)
      3.1
      >>> round(combined.stdev, 1)
      0.5

   버전 3.8에 추가.


"NormalDist" Examples and Recipes
---------------------------------

"NormalDist"는 고전적인 확률 문제를 쉽게 해결합니다.

예를 들어, 점수가 평균 1060이고 표준 편차가 195인 정규 분포를 보이는
SAT 시험의 역사적 데이터를 줄 때, 시험 점수가 1100에서 1200 사이인 학
생들의 백분율을 결정하십시오. 가장 가까운 정수로 반올림하십시오:

   >>> sat = NormalDist(1060, 195)
   >>> fraction = sat.cdf(1200 + 0.5) - sat.cdf(1100 - 0.5)
   >>> round(fraction * 100.0, 1)
   18.4

SAT 점수의 사분위 수(quartiles)와 십분위 수(deciles)를 찾으십시오:

   >>> list(map(round, sat.quantiles()))
   [928, 1060, 1192]
   >>> list(map(round, sat.quantiles(n=10)))
   [810, 896, 958, 1011, 1060, 1109, 1162, 1224, 1310]

To estimate the distribution for a model than isn't easy to solve
analytically, "NormalDist" can generate input samples for a Monte
Carlo simulation:

   >>> def model(x, y, z):
   ...     return (3*x + 7*x*y - 5*y) / (11 * z)
   ...
   >>> n = 100_000
   >>> X = NormalDist(10, 2.5).samples(n, seed=3652260728)
   >>> Y = NormalDist(15, 1.75).samples(n, seed=4582495471)
   >>> Z = NormalDist(50, 1.25).samples(n, seed=6582483453)
   >>> quantiles(map(model, X, Y, Z))       
   [1.4591308524824727, 1.8035946855390597, 2.175091447274739]

Normal distributions can be used to approximate Binomial distributions
when the sample size is large and when the probability of a successful
trial is near 50%.

예를 들어, 오픈 소스 회의에는 750명의 참석자와 500명 정원의 방 두 개가
있습니다. 파이썬과 루비에 대한 발표가 있습니다. 이전 회의에서는, 참석
자의 65%가 파이썬 발표를 듣는 것을 선호했습니다. 모집단 선호도가 변경
되지 않았다고 가정할 때, 파이썬 방이 정원 한도 내에 머무를 확률은 얼마
입니까?

   >>> n = 750             # Sample size
   >>> p = 0.65            # Preference for Python
   >>> q = 1.0 - p         # Preference for Ruby
   >>> k = 500             # Room capacity

   >>> # Approximation using the cumulative normal distribution
   >>> from math import sqrt
   >>> round(NormalDist(mu=n*p, sigma=sqrt(n*p*q)).cdf(k + 0.5), 4)
   0.8402

   >>> # Solution using the cumulative binomial distribution
   >>> from math import comb, fsum
   >>> round(fsum(comb(n, r) * p**r * q**(n-r) for r in range(k+1)), 4)
   0.8402

   >>> # Approximation using a simulation
   >>> from random import seed, choices
   >>> seed(8675309)
   >>> def trial():
   ...     return choices(('Python', 'Ruby'), (p, q), k=n).count('Python')
   >>> mean(trial() <= k for i in range(10_000))
   0.8398

정규 분포는 기계 학습 문제에서 흔히 등장합니다.

Wikipedia has a nice example of a Naive Bayesian Classifier. The
challenge is to predict a person's gender from measurements of
normally distributed features including height, weight, and foot size.

우리는 8명을 측정한 훈련 데이터 집합을 받았습니다. 측정값은 정규 분포
로 가정되므로, "NormalDist"로 데이터를 요약합니다:

   >>> height_male = NormalDist.from_samples([6, 5.92, 5.58, 5.92])
   >>> height_female = NormalDist.from_samples([5, 5.5, 5.42, 5.75])
   >>> weight_male = NormalDist.from_samples([180, 190, 170, 165])
   >>> weight_female = NormalDist.from_samples([100, 150, 130, 150])
   >>> foot_size_male = NormalDist.from_samples([12, 11, 12, 10])
   >>> foot_size_female = NormalDist.from_samples([6, 8, 7, 9])

다음으로, 피처 측정은 알려졌지만, 성별을 모르는 새로운 사람을 만납니다
:

   >>> ht = 6.0        # height
   >>> wt = 130        # weight
   >>> fs = 8          # foot size

남성이나 여성일 50%의 사전 확률(prior probability)로 시작하여, 사전 확
률에 주어진 성별이 피처 측정을 줄 우도(likelihood)를 곱해서 사후 확률
(posterior)을 계산합니다.:

   >>> prior_male = 0.5
   >>> prior_female = 0.5
   >>> posterior_male = (prior_male * height_male.pdf(ht) *
   ...                   weight_male.pdf(wt) * foot_size_male.pdf(fs))

   >>> posterior_female = (prior_female * height_female.pdf(ht) *
   ...                     weight_female.pdf(wt) * foot_size_female.pdf(fs))

최종 예측은 가장 큰 사후 확률(posterior)이 됩니다. 이것을 최대 사후 확
률(maximum a posteriori) 또는 MAP이라고 합니다.:

   >>> 'male' if posterior_male > posterior_female else 'female'
   'female'
